Carré Latin

mercredi 3 août 2011
par  syagrius
popularité : 7%

 Définition

les cases d’un carré latin n x n sont remplies par des mêmes éléments (lettres, nombres, figures géométriques) distinctes en ligne et en colonne. On utilise donc n lettres (remarquer ici les permutations circulaires sur les lignes et les colonnes). Chaque ligne (ou colonne) s’obtient par permutation des n éléments. dans chaque ligne, chaque colonne, on ne trouve qu’une fois et une seule les n éléments.

A B C
B C A
C A B
Carré latin n=3 dit normalisé car premiere ligne : ABC et premiere colonne : ABC

 Différents types de carré latin

 Carré latin normalisés

Le carré est normalisé si les chiffres successifs apparaissent dans l’ordre en première ligne, et première colonne.

 Carré latin élémentaire

Carré latin dont on décale d’un cran à chaque ligne

9 7 5 3
5 3 9 7
3 5 7 9
7 9 3 5

La somme des lignes de notre série (9 7 5 3) et des colonnes : 9+7+5+3= 24

 Carré latin diagonale

Si chacune des deux diagonales est composée d’éléments différents, le carré est dit diagonal.

 carré latins est dit symétrique

Si chaque paire d’éléments conjugués sur une diagonale est identique, le carré est dit symétrique.

 carré latins est dit greco-latin

Un carré obtenu par l’assemblage de deux carré latins est dit greco-latin. Ils sont ainsi nommés depuis le mathématicien suisse Leonhardt Euler qui les avait composés avec des lettres grecques et latines.

 Problème des 36 officiers

prenons : 36 officiers, 6 régiments et 6 grades. Un tableau 6x6 soit 36 représentant les 36 officiers Chaque ligne etre composé de tous les grades et tous les régiments.

Leonhard Euler a travaillé sur ce problème en 1782 et dira :

« Or, après toutes les peines qu’on s’est données pour résoudre ce problème, on a été obligé de reconnaître qu’un tel arrangement est absolument impossible, quoiqu’on ne puisse pas en donner de démonstration rigoureuse. »

Ainsi en 1958, R. C. Bose, E. T. Parker et S. S. Shrikhande ont démontré qu’il existe des carrés gréco-latins de tous les ordres, sauf d’ordres 2 et 6.

 carré arabo-greco-latin

Combinaison de 3 carrés latins, dont chaque symbole est une fois par ligne et par colonne, et chaque paire de symboles une fois et une seule.

 carré magique

Prenons 2 carrés latin dit normal/naturel, soit composé des n premiers entiers

1 3 2 4
4 2 3 1
3 1 4 2
2 4 1 3
Carré A

1 4 3 2
3 2 1 4
2 3 4 1
4 1 2 3
Carré B

Combinons, les carrés latin A et B

1,1 3,4 2,3 4,2
4,3 2,2 3,1 1,4
3,2 1,3 4,4 2,1
2,4 4,1 1,2 3,3
Carré gréco-latins ou Eulérien d’ordre 4

Nous obtenons un carré eulérien du fait que les couples formés par leur superposition sont tous différents.

Pour construire le carré magique à l’aide de nos 2 carrés latin et puis du carré eulérien, il faut appliquer la règle ci-dessous : M : La construction du carré Magique n : nombre d’élément M = n ( A – 1 ) + A’ et avec n = 4 : M = 4 ( A – 1 ) + A’

1 12 7 14
15 6 9 4
10 3 16 5
8 13 2 11
Carré magique dit pandiagonal obtenu avec les 2 carrés latin A et B

 Sudoku

Les grilles de Sudoku sont des carrés latins, la table d’addition modulo 10 est un carré latin… Le sudoku est un carré latin d’ordre 9, où les permutations sont telles que chacun des neuf sous-carrés contient les nombres de 1 à 9.

En 1782, le mathématicien suisse Leonhard Euler, sur la base du carré latin, approche de la forme que nous connaissons du Sudoku, avec le jeu des 36 officiers, utilisant donc des symboles et des règles plus strictes que le Sudoku.

Des grilles sont publiés à la fin du XIXe siècle dans des journaux français, avec toutefois quelques règles de contraintes supplémentaires à la forme que nous connaissons.

C’est Howard Garns en 1979 qui donne au jeu sa forme actuelle. Les grilles sont publiées aux Etats-Unis. Le jeu est introduit en 1984 au Japon sous le nom de Sudoku et arrive en France en 2005.

 Nombre de carré latin pour n

Carré latin d’ordre n =1possèdent 1 carrés latin
Carré latin d’ordre n =2 possèdent 2 carrés latin
Carré latin d’ordre n =3 possèdent 12 carrés latin
Carré latin d’ordre n =4 possèdent 576 carrés latin
Carré latin d’ordre n =5 possèdent 161 280 carrés latin
Carré latin d’ordre n =6 possèdent 812 851 200 carrés latin
Carré latin d’ordre n =7 possèdent 61 479 419 904 000 carrés latin
Carré latin d’ordre n =8 possèdent 108 776 032 459 082 956 800 carrés latin
Carré latin d’ordre n =9 possèdent 5 524 751 496 156 892 842 531 225 600 carrés latin
Carré latin d’ordre n =10 possèdent 9982437658213039871725064756920320000 carrés latin

 Remarques

Toutes les combinaisons sont des multiples de 9 à partir de n=4 ainsi ils obéissent à la règle du chiffre 9 au moins jusqu’à l’ordre 10
n(4) : 576/9= 64
n(5) : 161 280/9= 17920
n(6) : 812 851 200/9=90 316 800
n(7) : 61 479 419 904 000/9=6 831 046 656 000
n(8) : 108 776 032 459 082 956 800/9=12 086 225 828 786 995 200
n(9) : 5 524 751 496 156 892 842 531 225 600/9=613 861 277 350 765 871 392 358 400
n(10) : 9982437658213039871725064756920320000/9=11 091 597 398 014 488 746 361 183 063 245

Il n’y a pas de formules pour connaitre le nombre de carré de latin lorsque n est grand.


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