Paradoxes logiques et raisonnement humain

samedi 6 novembre 2010
par  Neimad
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Les probabilités sont parfois contre-​​intuitives.

En voici quelques exemples :


 Le paradoxe de Monty Hall


Dans un jeu télévisé, l’on cache deux chèvres et une voiture der­rière trois portes. On demande au can­didat de choisir l’une des trois portes. Le pré­sen­tateur ouvre ensuite une des deux portes res­tantes, avec pour recom­man­dation de n’ouvrir qu’une porte avec une chèvre. Il demande ensuite au can­didat s’il veut changer son choix pour la porte qui reste ou s’il veut rester sur son choix. Le can­didat doit-​​il changer de porte ?

Une pre­mière réponse serait de cal­culer que l’on a une chance sur trois au début du jeu et que l’échange ne changera rien. Si la voiture est der­rière la porte, elle restera der­rière la porte. Cela ne changera rien de changer de porte.

Une deuxième réponse serait d’oublier la situation d’origine et de s’en tenir au nouveau dilemme : ou bien la voiture se trouve der­rière la porte que j’ai choisi, ou bien la voiture se trouve der­rière l’autre porte. J’ai donc une chance sur deux. Cela ne changera rien de changer de porte.

En réalité, le can­didat aura plus de chances de gagner la voiture s’il change de porte, deux chances sur trois si vous changez au lieu d‘une chance sur trois si vous ne changez pas. Ce résultat est contre-​​intuitif.

Vous pouvez vérifier avec trois cartes ou trois bouts de papier, un gagnant et deux per­dants. Choi­sissez une carte. Sup­posons que vous décidez de garder votre premier choix. Vous pouvez la retourner. Recom­mencez 30 fois et notez les résultats. Vous aurez nor­ma­lement gagné 10 fois sur 30 résultats (une chance sur trois). Ensuite, recom­mencez en demandant à un ami de retirer une mau­vaise carte. Echangez votre carte contre celle qui reste et retourner-​​la. Recom­mencez 30 fois. Vous aurez gagné 20 fois en moyenne. J’ai vérifié.

L’explication est la sui­vante. Au départ, chaque porte a une chance sur trois de cacher la voiture

3/​3 = 1/​3 + 1/​3 + 1/​3

En retirant votre carte, il reste donc deux chances sur trois que la voiture soit der­rière les deux portes res­tantes ; en ouvrant une porte avec une chèvre, il reste donc deux chances sur trois que la voiture se trouve der­rière l’autre porte, tandis que la porte du can­didat n’a tou­jours qu’une chance sur trois de cacher la voiture. Le can­didat a donc tout intérêt à changer.

3/​3 - 1/​3 = 2/​3 2/​3 - 0/​3 = 2/​3


 Le paradoxe des prisonniers


Trois pri­son­niers sont dans une prison. Deux seront condamnés à mort, un seul sera gracié. Un des pri­son­niers s’approche de la grille et parle au bourreau : « Je sais que tu ne peux rien me dire pour moi, mais tu peux me désigner lequel des deux autres pri­son­niers sera condamné à mort ». Le bourreau accepte et désigne un des deux autres pri­son­niers. Le pri­sonnier qui a parlé au bourreau sourit : « Merci. Au début, j’avais une chance sur trois d’être épargné, main­tenant j’ai une chance sur deux ».

Est-​​ce vrai ? En réalité, c’est faux. En faisant cela, il a seulement aug­menté les chances de l’autre pri­sonnier d’être gracié. Le pri­sonnier qui a parlé au bourreau a tou­jours une chance sur trois d’être gracié, tandis que le pri­sonnier qui n’est pas désigné par le bourreau passe de une sur trois à deux sur trois. Explication :

Chaque pri­sonnier a une chance sur trois d’être gracié à l’origine : 3/​3 = 1/​3 + 1/​3 + 1/​3. Le pri­sonnier qui parle au bourreau a 1/​3 d’être gracié.

Il reste deux chances sur trois que l’un des deux pri­son­niers res­tants soit gracié : 3÷31÷3 = 2/​3.

En dési­gnant un pri­sonnier à mort parmi les deux pri­son­niers, le bourreau élimine une des pos­si­bi­lités d’être gracié, celui qu’il n’a pas choisi « hérite » donc à lui seul des deux chances sur trois d’être gracié.

2/​3 - 0/​3 = 2/​3


 Le paradoxe des trois pièces


Si je lance trois pièces, combien de chances ai-​​je de voir appa­raître trois fois la même face ?

Une réponse serait de dire : « Il y a trois pièces et il n’y a que deux faces, il y a donc deux pièces qui tom­beront sur la même face. La der­nière pièce tombera à son tour sur un des deux côtés. Il y a donc une chance sur deux que les trois pièces tombent sur la même face. ».

Cette réponse est fausse. Il y a une chance sur quatre que les pièces tombent du même côté . Pourquoi ? La pre­mière pièce peut tomber sur 2 faces, la deuxième et la troi­sième idem.

222 = 8 possibilités

Les cas où les pièces tombent sur la même face n’apparaissent deux fois : « trois fois pile » ou « trois fois face ».

2/​8 = 1/​4


 La logique humaine


En somme, il ne s’agit pas de para­doxes mais de pro­blèmes logiques. Si nous nous trompons dans le calcul des pro­ba­bi­lités, c’est que notre cerveau ne rai­sonne pas de cette manière. Comment raisonnons-​​nous ? Quatre fac­teurs sont déterminants :

  • Nous pri­vi­lé­gions une infor­mation positive à une infor­mation négative : « la voiture se trouve der­rière une des trois portes » est plus faci­lement com­pré­hen­sible que « la voiture n’est pas der­rière deux portes » ou « il est faux de dire que la voiture se trouve der­rière deux portes à la fois » ou « il n’y a pas de voiture der­rière deux portes »
  • Nous rai­sonnons avec des objets, non avec des pro­ba­bi­lités : « une pièce a deux faces, elle a donc une chance sur deux de tomber sur pile » mais j’ai plus de mal à rai­sonner avec trois pièces, car il ne s’agit pas d’un objet
  • Nous tentons de réduire le hasard avec nos connais­sances : « si je ne sais pas ce qu’il y a der­rière cette porte, j’ai une chance sur deux de me tromper »
  • Nous rai­sonnons à partir de notre point de vue : « si le troi­sième pri­sonnier est épargné, nous ne sommes plus que deux pri­son­niers, j’ai donc une chance sur deux d’être sauvé »

Ces dif­fé­rentes carac­té­ris­tiques sont utiles à la survie d’un individu dans un monde matériel. Notre manière de rai­sonner cor­respond donc à notre manière de vivre. Nos « erreurs de rai­son­nement » nous servent en réalité à évoluer dans un monde où des objets existent réel­lement (et non vir­tuel­lement) et où des infor­ma­tions sur ces objets sont acces­sibles à des indi­vidus par­ti­cu­liers. Ces « erreurs » nous donnent donc plus de « chances » de sur­vivre si nous évitons de rai­sonner dans l’abstrait, avec les seules probabilités.

Nous pouvons retrouver la manière dont nous pensons dans la syntaxe d’une langue. L’intelligence verbale n’est pas de la même nature que l’intelligence des mathé­ma­tiques. Les lettrés ne sont pourtant pas plus intel­li­gentes que les matheux, et inver­sement, l’un ou l’autre sera plus intel­ligent selon la matière sur laquelle il exercera son intel­li­gence, selon l’environnement dans lequel il évoluera. Les formes de langage sont autant de logiques dif­fé­rentes, adaptées aux contraintes d’un nouveau milieu : le langage infor­ma­tique pour les ordi­na­teurs, le langage olfactif pour les fourmis, etc.

Il est pro­bable que si nous ren­con­trons un jour des extra-​​terrestres, leur mode de com­mu­ni­cation sera adapté au milieu où ils évoluent. S’ils évoluent dans un milieu stable, s’ils mani­pulent des objets et s’ils ne sont pas télé­pathes, alors nous pourrons nous com­prendre. Sans cela, leur manière de penser sera dif­fé­rente de la nôtre et leur langage risque d’être dif­ficile à décrypter…


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dimanche 22 novembre 2015 à 14h28 - par  LEROY

On apprend parfois des choses sur­pre­nentes mais qui sont tiré de faits réels comme les dictons et proverbes !
Leroy Yohann 11120 Ginestas !

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