Carré Latin

mercredi 3 août 2011
par  syagrius
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 Définition

les cases d’un carré latin n x n sont rem­plies par des mêmes éléments (lettres, nombres, figures géo­mé­triques) dis­tinctes en ligne et en colonne. On utilise donc n lettres (remarquer ici les per­mu­ta­tions cir­cu­laires sur les lignes et les colonnes). Chaque ligne (ou colonne) s’obtient par per­mu­tation des n éléments. dans chaque ligne, chaque colonne, on ne trouve qu’une fois et une seule les n éléments.

A B C
B C A   C A B
Carré latin n=3 dit nor­malisé car pre­miere ligne : ABC et pre­miere colonne : ABC

 Différents types de carré latin

 Carré latin normalisés

Le carré est nor­malisé si les chiffres suc­cessifs appa­raissent dans l’ordre en pre­mière ligne, et pre­mière colonne.

 Carré latin élémen­taire

Carré latin dont on décale d’un cran à chaque ligne

9 7 5 3
5 3 9 7
3 5 7 9
7 9 3 5

La somme des lignes de notre série (9 7 5 3) et des colonnes : 9+7+5+324

 Carré latin dia­gonale

Si chacune des deux dia­go­nales est com­posée d’éléments dif­fé­rents, le carré est dit diagonal.

 carré latins est dit symé­trique

Si chaque paire d’éléments conjugués sur une dia­gonale est iden­tique, le carré est dit symétrique.

 carré latins est dit greco-​​latin

Un carré obtenu par l’assemblage de deux carré latins est dit greco-​​latin. Ils sont ainsi nommés depuis le mathé­ma­ticien suisse Leon­hardt Euler qui les avait com­posés avec des lettres grecques et latines.

 Pro­blème des 36 offi­ciers

prenons : 36 offi­ciers, 6 régi­ments et 6 grades. Un tableau 6×6 soit 36 repré­sentant les 36 offi­ciers Chaque ligne etre composé de tous les grades et tous les régiments.

Leonhard Euler a travaillé sur ce problème en 1782 et dira :

« Or, après toutes les peines qu’on s’est données pour résoudre ce pro­blème, on a été obligé de recon­naître qu’un tel arran­gement est abso­lument impos­sible, quoiqu’on ne puisse pas en donner de démons­tration rigou­reuse. »

Ainsi en 1958, R. C. Bose, E. T. Parker et S. S. Shri­khande ont démontré qu’il existe des carrés gréco-​​latins de tous les ordres, sauf d’ordres 2 et 6.

 carré arabo-​​greco-​​latin

Com­bi­naison de 3 carrés latins, dont chaque symbole est une fois par ligne et par colonne, et chaque paire de sym­boles une fois et une seule.

 carré magique

Prenons 2 carrés latin dit normal/​naturel, soit composé des n pre­miers entiers

1 3 2 4
4 2 3 1
3 1 4 2
2 4 1 3
Carré A

1 4 3 2
3 2 1 4
2 3 4 1
4 1 2 3
Carré B

Combinons, les carrés latin A et B

1,1 3,4 2,3 4,2
4,3 2,2 3,1 1,4
3,2 1,3 4,4 2,1
2,4 4,1 1,2 3,3
Carré gréco-​​latins ou Eulérien d’ordre 4

Nous obtenons un carré eulérien du fait que les couples formés par leur super­po­sition sont tous différents.

Pour construire le carré magique à l’aide de nos 2 carrés latin et puis du carré eulérien, il faut appliquer la règle ci-​​dessous : M : La construction du carré Magique n : nombre d’élément M = n ( A – 1 ) + A’ et avec n = 4 : M = 4 ( A – 1 ) + A’

1 12 7 14
15 6 9 4
10 3 16 5
8 13 2 11
Carré magique dit pan­dia­gonal obtenu avec les 2 carrés latin A et B

 Sudoku

Les grilles de Sudoku sont des carrés latins, la table d’addition modulo 10 est un carré latin… Le sudoku est un carré latin d’ordre 9, où les per­mu­ta­tions sont telles que chacun des neuf sous-​​carrés contient les nombres de 1 à 9.

En 1782, le mathé­ma­ticien suisse Leonhard Euler, sur la base du carré latin, approche de la forme que nous connaissons du Sudoku, avec le jeu des 36 offi­ciers, uti­lisant donc des sym­boles et des règles plus strictes que le Sudoku.

Des grilles sont publiés à la fin du XIXème siècle dans des journaux français, avec tou­tefois quelques règles de contraintes sup­plé­men­taires à la forme que nous connaissons.

C’est Howard Garns en 1979 qui donne au jeu sa forme actuelle. Les grilles sont publiées aux Etats-​​Unis. Le jeu est introduit en 1984 au Japon sous le nom de Sudoku et arrive en France en 2005.

 Nombre de carré latin pour n

Carré latin d’ordre n =1possèdent 1 carrés latin
Carré latin d’ordre n =2 pos­sèdent 2 carrés latin
Carré latin d’ordre n =3 pos­sèdent 12 carrés latin
Carré latin d’ordre n =4 pos­sèdent 576 carrés latin
Carré latin d’ordre n =5 pos­sèdent 161 280 carrés latin
Carré latin d’ordre n =6 pos­sèdent 812 851 200 carrés latin
Carré latin d’ordre n =7 pos­sèdent 61 479 419 904 000 carrés latin
Carré latin d’ordre n =8 pos­sèdent 108 776 032 459 082 956 800 carrés latin
Carré latin d’ordre n =9 pos­sèdent 5 524 751 496 156 892 842 531 225 600 carrés latin
Carré latin d’ordre n =10 pos­sèdent 9982437658213039871725064756920320000 carrés latin

 Remarques

Toutes les com­bi­naisons sont des mul­tiples de 9 à partir de n=4 ainsi ils obéissent à la règle du chiffre 9 au moins jusqu’à l’ordre 10
n(4) : 576/​9= 64
n(5) : 161 280/​9= 17920
n(6) : 812 851 200/9=90 316 800
n(7) : 61 479 419 904 000/9=6 831 046 656 000
n(8) : 108 776 032 459 082 956 800/9=12 086 225 828 786 995 200
n(9) : 5 524 751 496 156 892 842 531 225 600/9=613 861 277 350 765 871 392 358 400
n(10) : 9982437658213039871725064756920320000/9=11 091 597 398 014 488 746 361 183 063 245

Il n’y a pas de for­mules pour connaitre le nombre de carré de latin lorsque n est grand.


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